asd

Làm thế nào để bạn đi từ phương trình tham số của một xycloid sang phương trình Descartes?

Người hỏi: Gertjan, 18 tuổi

Câu trả lời

Gertjan thân mến,

Chuyển đổi phương trình tham số thành phương trình Descartes là một công việc thường khó khăn. Nếu bạn hy vọng rằng phương trình tham số (đơn giản) cũng dẫn đến một phương trình Descartes đơn giản, thì tôi phải làm bạn thất vọng!

Trong câu hỏi này, chúng tôi thử phương trình tham số

đến một phương trình trong đó tham số t không còn xảy ra (r là bán kính của đường tròn lăn).

Một phương pháp thường hoạt động là bạn cố gắng giải một trong hai phương trình thành t và sau đó chèn giá trị tìm được của t vào phương trình kia.

Lấy t từ phương trình đầu tiên là rất khó vì t xảy ra cả bình thường và bên trong sin. May mắn thay, phương trình thứ hai làm cho nó dễ dàng hơn:

Bây giờ chúng ta có thể lấy t từ đẳng thức cuối cùng:

Thật không may, điều này chỉ áp dụng cho t từ 0 đến pi. Chúng ta phải nhớ điều đó trong phần còn lại của dẫn xuất. (Lưu ý ở đây rằng Bgcos là hàm ngược của cosin. Bạn cũng có thể sử dụng Bgcos dưới dạng acos hoặc cos-1 gặp trong các tài liệu khác).

Bây giờ chúng ta có thể điền t vào đẳng thức với x:

Vì t ở trên chỉ nằm giữa 0 và pi, và do đó x nằm giữa 0 và r * pi, phương trình này sẽ chỉ phù hợp với phần của đường cong bao gồm nửa cung đầu tiên của xycloid. Vì sự bình đẳng

chúng ta có thể viết phần cuối cùng của phương trình theo cách khác:

Vì vậy, hãy nhớ rằng (do giới hạn của Bgcos ở trên) đẳng thức này chỉ đúng với nửa cung đầu tiên của cycloid. Đối với mỗi nửa cung khác, xycloid sẽ có một phương trình ẩn khác (rất giống với phương trình mà chúng ta suy ra ở trên). Với một số nỗ lực, chúng tôi có thể đặt tất cả những phần nhỏ này lại với nhau thành một so sánh lớn, nhưng điều đó sẽ rất cay:

Tuy nhiên, một giải thưởng sắc đẹp sẽ không bao giờ chiến thắng trong sự so sánh.

Trả lời bởi

Tiến sĩ Stijn Symens

môn Toán

Đại học Antwerp
Prinsstraat 13 2000 Antwerp
http://www.uantwerpen.be

Recent Articles

spot_img

Related Stories

Stay on op - Ge the daily news in your inbox