asd

Làm thế nào để chúng ta tính toán số khả năng của các vị trí mà một khối rubikscube có thể có?

Có 43 nghìn tỷ trong số đó. Nhưng làm thế nào để chúng tôi tính toán điều đó? Logic toán học nào được sử dụng?

Người hỏi: Nelson, 12 tuổi

Câu trả lời

Để xác định số lượng vị trí có thể có trong đó một khối Rubik có thể có, chúng ta cần điều tra
cách mỗi máy bay có thể di chuyển riêng lẻ bằng cách thực hiện các phép quay. Sau đó, chúng ta phải kiểm tra xem mỗi
của các máy bay có thể được di chuyển độc lập với tất cả các máy bay khác. Chính xác điều này có nghĩa là gì
sẽ được thảo luận sau. Đầu tiên, chúng ta sẽ phân tích các chuyển động có thể có của các máy bay một cách riêng biệt
bàn luận.

Chúng tôi xem xét số phần có thể nhìn thấy của khối lập phương. Có tám khối ở các góc,
bao gồm chính xác ba hình vuông màu. Ngoài ra còn có 12 hình lập phương cạnh, một hình lập phương nằm giữa mỗi hình lập phương hai góc, gồm có đúng 2 hình vuông màu. Cuối cùng, có 6 khối bao gồm đúng một hình vuông màu. Nếu bạn thực hiện bất kỳ vòng quay nào, bạn sẽ thấy rằng mỗi khối trong số sáu khối trung tâm này, bao gồm một hình vuông màu, thực sự vẫn ở đúng vị trí. Do đó, sáu hình vuông ở giữa này không đóng vai trò gì trong việc xác định tổng số vị trí có thể có của hình lập phương. Vì vậy, chúng ta chỉ phải tính đến 8 x 3 + 12 x 2 = 48 hình vuông khác.

Một thực tế thứ hai rõ ràng ngay lập tức là một khối góc, do bất kỳ phép quay nào, luôn nằm trên
góc (và một khối bên, lặp đi lặp lại giữa hai góc). Nó cũng rõ ràng rằng bạn
ba bề mặt xuất hiện trên một khối góc không thể tách rời bằng bất kỳ phép quay nào. Vì vậy, nếu bạn
di chuyển một hình vuông như vậy sang một góc khác, chuyển động đó sẽ phá hủy hai hình vuông còn lại
chuyển động cùng góc. Điều tương tự cũng áp dụng cho các hình vuông trên các hình khối bên: nếu bạn di chuyển một trong số chúng đến một nơi
di chuyển giữa hai góc, người kia di chuyển với nó đến một vị trí giữa hai góc giống nhau.

Người ta biết rằng bạn có thể di chuyển tám khối góc một cách độc lập với nhau. Hoặc, nói một cách khác, nếu
nếu bạn đánh số các đỉnh từ 1 đến 8, bạn có thể tìm thấy một phép quay sẽ di chuyển từng hình khối góc đến một trong các đỉnh được đánh số mà bạn chọn. Nếu bạn chỉ tính số vị trí có thể có của các hình lập phương góc, bạn thấy rằng có 1x2x3x … x7x8 = 8! = 40320 vị trí có thể. Con số này thu được như sau: đối với khối góc đầu tiên, bạn có 8 lựa chọn, thêm 7 lựa chọn thứ hai, 6 lựa chọn thứ ba, v.v., cho đến khi khối cuối cùng còn lại, mà bạn chỉ có một điểm góc khả dĩ. Một điều gì đó tương tự cũng áp dụng cho các hình khối bên: có 12 vị trí có thể có cho một hình khối bên, vì vậy nếu bạn chỉ tính số vị trí có thể có của các hình khối bên, bạn sẽ thấy rằng có 12! = 479001600. Lưu ý ký hiệu: nhà toán học
viết ra một tích có dạng 1x2x … x 7×8 dưới dạng 8! (gọi là: 8 ‘khoa’).

Bây giờ chúng ta phải xem có bao nhiêu khả năng để di chuyển các hình vuông nằm trên một khối góc hoặc một khối bên. Điều này có nghĩa như sau: nếu chúng ta chỉ nhìn vào một khối góc đã chọn, thì luôn có các phép quay giữ khối góc ở cùng một điểm góc, nhưng sẽ di chuyển các ô vuông có màu trên khối góc đó. Nhưng số khả năng có hạn: người ta không thể giữ một hình vuông màu và đổi hai hình vuông còn lại. Vì vậy, mỗi khối góc chỉ có ba cách có thể để các hình vuông
có thể được định vị. Với thông tin này, chúng ta có thể tính toán lại: có tám khối góc, đối với mỗi khối có ba vị trí có thể cho các hình vuông, điều này cho 3số 8 x 8! = 264539520 vị trí có thể cho các hình vuông trên các khối góc. Tuy nhiên, người ta không thể thao tác tất cả các sách góc một cách độc lập với nhau. Nếu bạn thay đổi vị trí của các hình vuông của một hình lập phương ở góc, thì luôn có ít nhất một hình lập phương góc khác mà các hình vuông đó thay đổi đồng thời! Trong phép tính, hệ số này nhỏ hơn 3, vì vậy có chính xác 37 x 8! = 88179840 vị trí có thể có của hình lập phương nếu chúng ta chỉ nhìn vào các hình vuông trên các hình lập phương ở góc.

Nguyên tắc tương tự cũng áp dụng cho các ô vuông trên các hình khối bên, chỉ có các số là khác nhau. Chúng tôi tóm tắt.
– Mỗi hình lập phương bên có hai hình vuông, vì vậy với mỗi hình lập phương bên có hai vị trí có thể có, do đó 212 x 12! = 1961990553600 vị trí có thể.
– Tuy nhiên, nếu bạn thay đổi vị trí của các ô vuông của một khối bên, luôn có ít nhất một khối bên khác tại đó các ô vuông thay đổi đồng thời, vì vậy điều này cho kết quả là 211 x 12! = 980995276800 vị trí có thể.

Bây giờ chúng tôi đã sẵn sàng để tính toán tổng số vị trí. Ở đây cũng vậy, có một sự thật nữa về khối Rubik không dễ nhận thấy: bản thân khối góc và khối bên không thể được chế tác hoàn toàn độc lập với nhau: trên thực tế, nếu một khối góc được chế tác, thì có luôn luôn có ít nhất một khối bên được thao tác đồng thời. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta muốn tính tổng số các vị trí khác nhau của khối Rubik, chúng ta có thể nhân các kết quả trên với nhau, nhưng sau đó vẫn phải chia kết quả cuối cùng cho hai. Sau đó, kết quả sau xuất hiện mà bạn có thể dễ dàng tính toán:

số vị trí có thể có = (1/2) x 211 x 12! x 37 x 8! = (1/2) x (980995276800 x 86504006548979712000) = 43252003274489856000, đúng là 43 nghìn tỷ !.

Những gì hiện đã được mô tả ở đây trên thực tế chỉ là phần đầu tiên của lý luận toán học. Sự thật mà chúng tôi đã sử dụng, cụ thể là chính xác những khả năng có thể điều khiển khối Rubik, không dễ thấy như vậy. Để chứng minh những dữ kiện này, chúng tôi thực sự phải nghiên cứu tính đối xứng của
khối Rubik. Một nghiên cứu như vậy thuộc lĩnh vực “lý thuyết nhóm”, một nhánh của toán học liên quan đến nghiên cứu trừu tượng về đối xứng, và có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và các ngành khoa học khác.

Trả lời bởi

Giáo sư Tiến sĩ Jan De Beule

môn Toán

Đại học miễn phí Brussels
Avenue des Pélain 2 1050 Ixelles
http://www.vub.ac.be/

Recent Articles

spot_img

Related Stories

Stay on op - Ge the daily news in your inbox