asd

tích phân sin (x) ^ m * cos (x) ^ n với hai số mũ lẻ.

Vấn đề là tôi nhận được hai kết quả khác nhau theo hai cách khác nhau, và tôi không hiểu ngay lập tức tại sao một cách lại đúng và cách kia sai …

Ví dụ, nếu một người muốn tính tích phân của cos (x) ^ 3 * sin (x) ^ 5, điều này có thể được thực hiện bằng cách thêm 1 lần sin (x) sau vi phân dưới dạng -d (cosx), tích phân có thể sau đó được viết dưới dạng int cos (x) ^ 3 * (1-cos (x) ^ 2) ^ 2 * -d (cosx) và đánh giá thêm trả về (-cos (x) ^ 4) / 4 + (cos (x ) ^ 6) / 3 – (cos (x) ^ 8) / 8 + hằng số.

Đối với tôi, nó có vẻ hợp lý và thậm chí còn đơn giản hơn một chút khi đặt 1 lần cosx sau vi phân thay vì 1 lần sinx so với d (sinx). Sau đó, tích phân có thể được viết dưới dạng int sin (x) ^ 5 * (1-sin (x) ^ 2) * d (sinx) và điều này trả về (sin (x) ^ 6) / 6 – (sin (x)) ^ 8) / 8 + hằng số.

Nhưng nếu tôi vẽ hai kết quả này bây giờ tôi nhận được hai biểu đồ khác nhau, vậy nó đã sai ở đâu?

Người hỏi: Ruth, 18 tuổi

Câu trả lời

Gửi Ruth

Bạn đã tính đúng tích phân theo hai cách nên cả hai đều đúng! Lý do chúng ta viết rằng hằng số tích hợp (+ C) là bởi vì một hàm nguyên thủy không phải là duy nhất và với C đó, chúng ta có ‘tất cả’ chúng. Nhưng nếu bạn xác định tích phân theo những cách khác nhau, thì những chữ C mà chúng ta viết ra cũng có thể khác nhau.

Có lẽ điều đó sẽ trở nên rõ ràng với một ví dụ đơn giản hơn. Đối với tích phân không xác định của (x + 1) ², bạn sẽ ngay lập tức nhận được (x + 1) ³ / 3 + C thông qua một phép thay thế nhỏ1 tìm, hoặc xây dựng x³ / 3 + x² + x + 1/3 + C1.
Nhưng nếu trước tiên bạn mở rộng dấu ngoặc đơn thành x² + 2x + 1 và sau đó tích hợp, bạn thấy x³ / 3 + x² + x + C2. Các kết quả có vẻ khác nhau, nhưng chúng không phải là: một C đơn giản không phải là C khác, nhưng C2 = C1+1/3.
Những chữ C đó đại diện cho bất kỳ số thực nào, vì vậy việc thêm một hằng số không thay đổi toàn bộ tập hợp các hàm nguyên thủy.

Điều tương tự cũng xảy ra với vấn đề của bạn: các hàm bạn vẽ bằng nhau, ngoại trừ một hằng số. Bởi vì chúng khác nhau 1/24 (bạn có thể kiểm tra điều đó với một số công thức lượng giác bằng cách trừ và đơn giản hóa chúng) nên các biểu đồ cũng giống nhau, ngoại trừ sự dịch chuyển theo chiều dọc 1/24 (xem hình ảnh đính kèm, nhấp vào để phóng to).

Tất nhiên, những gì bạn có thể luôn làm khi nghi ngờ, là lấy lại cả hai kết quả và xác minh rằng bạn có thể tìm thấy tích hợp ban đầu.

Trân trọng
Tom

Trả lời bởi

Tom Dorissen

Đại học miễn phí Brussels
Avenue des Pélain 2 1050 Ixelles
http://www.vub.ac.be/

Recent Articles

spot_img

Related Stories

Stay on op - Ge the daily news in your inbox