asd

Tôi có ba câu hỏi toán học về một hình cầu.

Tôi thực sự có 3 câu hỏi toán học về một hình cầu:

1) Nếu bạn suy ra công thức về thể tích của một hình cầu từ R, bạn sẽ có công thức về diện tích bề mặt của một hình cầu. Đây có phải là sự trùng hợp hay không? Tôi không nghĩ đó là trường hợp của bất kỳ hình không gian nào khác.

2) Có công thức tổng quát cho “thể tích” của một hình cầu n chiều không?

3) Hình cầu sẽ là hình học mà tỷ lệ thể tích / diện tích là lớn nhất. Có một bằng chứng toán học cho điều đó?

Kiến thức toán của tôi khá tốt nên các câu trả lời có thể có mức độ trừu tượng hợp lý.

Người hỏi: walter, 44 tuổi

Câu trả lời

1) Không, đó không phải là sự ngẫu nhiên. Nói chung, nếu bạn có một hàm f (x) và bạn tăng x lên một bước nhỏ dx, bạn có thể tính gần đúng mức tăng tương ứng của hàm là df = f ‘(x) .dx. Rốt cuộc:

f (x + dx) = f (x) + f ‘(x) .dx + 1/2 f’ ‘(x) .dx2 + …. (chuỗi Taylor)

Vậy df = f (x + dx) – f (x) = f ‘(x) .dx + lũy thừa cao hơn của dx, ta có thể bỏ qua vì dx rất nhỏ.

OK, bây giờ chúng ta áp dụng điều đó cho V (R) = 4/3 pi R3thể tích của một khối cầu.

Vì vậy, nếu bán kính tăng một chút, theo dR, chúng ta thấy thể tích tăng lên bằng

dV = V ‘(R) .dr = 4 Pi. R2 . dR

Bạn có thấy công thức cho diện tích không?

Điều đó rất dễ hiểu: bạn cũng có thể “lý do” sự gia tăng thể tích này như sau: nếu bán kính tăng lên một chút, một lớp mỏng sẽ được thêm vào trên hình cầu. Thể tích của lớp mỏng đó bằng diện tích nhân với bề dày. Nên cũng :

dV = S (R). dR

Vì vậy, bạn thấy rằng S (R) tương ứng chính xác với 4 pi R2.

Lưu ý rằng đây cũng là trường hợp của khối lập phương chẳng hạn. Nếu bạn tăng khung sườn với mức tăng nhỏ 2dR, do đó dr dọc theo cả hai đầu của mỗi xương sườn, khối lượng tăng lên:

(R + 2dR)3 – R3 = R3 = R3 + 3. R2 . 2dR + thuật ngữ trong dR2 + thuật ngữ trong dR3 – R3

= 6 R2 dR + điều khoản đặt hàng cao hơn không đáng kể

Vì vậy, ở đây bạn cũng thấy vị trí cho dR, theo định lý Taylor, đạo hàm bậc nhất là diện tích của hình lập phương của bạn. Ngoài ra, đối với các cơ quan khác chỉ phụ thuộc vào một tham số, bạn sẽ nếu bạn suy luận đúng có thể lặp lại quy trình này.

Nó cũng đã được nghiên cứu một cách khoa học:
http://arxiv.org/abs/math/0702635

2) Có, bạn có thể tìm thấy công thức đó tại:
http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere
hoặc
http://people.csail.mit.edu/jrennie/writing/sphereVolume.pdf và các tài liệu tham khảo trong đó.

3) Đúng, điều đó đã được người Đức chứng minh vào năm 1884:

H.A. Schwarz,
Beweis des Satzes, dass die Kugel Oberäche besitz nhỏ hơn, như bất kỳ loại Körper gleichen Volumens nào khác,
trong tạp chí: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaosystem zu Göttingen (1884), 1 {13.

Trả lời bởi

Giáo sư Tiến sĩ. Paul Hellings

Khoa Toán học, Fac. IIW, KU Leuven

Đại học Công giáo Leuven
Chợ cũ 13 3000 Leuven
https://www.kuleuven.be/

Recent Articles

spot_img

Related Stories

Stay on op - Ge the daily news in your inbox