asd

Việc sử dụng đường chéo một ma trận là gì hoặc các ứng dụng của nó là gì?

ma trận đại số toán học

Chúng tôi đã độc lập làm ra một ví dụ với sự trợ giúp của eigenvalues, nhưng chúng tôi không thực sự hiểu điều này có nghĩa cụ thể là gì. Chúng tôi cũng tò mò về các ứng dụng có thể có của nó.

Người hỏi: Hellen, 18 tuổi

Câu trả lời

Kính gửi Hellen

Toàn bộ lý thuyết đằng sau eigenvalues, eigenvector và chéo hóa đi khá xa, tôi sẽ giới hạn bản thân trong một số thông tin chung và một ví dụ về tính thực tế của việc sơ đồ hóa.
Như bạn có thể biết, nhân ma trận là một ‘công việc khó khăn’: xét cho cùng, nó không chỉ là nhân phần tử với phần tử mà là một phương pháp phức tạp hơn để tìm tích của hai ma trận. Ngoài ra, khi bạn tìm kiếm tích của một ma trận với chính nó, hoặc các lũy thừa cao hơn của ma trận, bạn sẽ nhận được sản phẩm ma trận khá khó chịu đó.
Một trường hợp không quá khó là ma trận đường chéo; ma trận vuông với tất cả các số không ngoại trừ trên đường chéo chính. Cây thônge sức mạnh của một ma trận đường chéo như vậy có thể thu được bằng cách chỉ cần thêm ne lấy quyền lực từ bất kỳ phần tử nào trên đường chéo chính; nhanh hơn và dễ dàng hơn rất nhiều so với cách ne lũy thừa thông qua phép nhân ma trận.
Lập đường chéo ma trận A có nghĩa là tìm ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho A = PDP-1với P-1 nghịch đảo của P. Có thể chứng minh rằng trong trường hợp đó các cột của P chứa chính xác các giá trị riêng của A và các phần tử của D là các giá trị riêng. Điều này cung cấp cho bạn một cách thực tế để lập đường chéo ma trận.
Chúng ta biết rằng lũy ​​thừa của D rất dễ tính, nhưng điều này cũng làm cho lũy thừa của A thuận tiện trong việc tính toán. Rốt cuộc (P-1.P = INma trận đơn vị):
mộtN = (PDP-1)N = PD (P-1.P) .D. (P-1.P) … (P-1.P) .DP-1 = PDN.P-1
Bạn thấy chúng tôi quan tâm đến AN để tính toán thực sự chỉ phải tính toán hai phép nhân ma trận thực vì DN rất dễ tính vì D là đường chéo. Đây là một kết quả toán học rất hữu ích, nhưng nó cũng có những ứng dụng thực tế.
Nhiều hiện tượng hoặc quá trình trong các ngành khoa học khác được mô tả bằng cách sử dụng ma trận. Nhiều quá trình có bản chất như sau: một trạng thái nhất định phát triển theo thời gian và mỗi trạng thái mới có thể thu được bằng cách nhân một vectơ mô tả trạng thái hiện tại với một ma trận A nhất định mô tả sự tiến hóa; kết quả là một vectơ có trạng thái mới.
Có thể tìm thấy một ví dụ cụ thể về điều này, chẳng hạn trong sinh học, cụ thể hơn là trong động thái dân số. Số lượng của những kẻ săn mồi và con mồi nhất định trong một hệ sinh thái đôi khi có thể được mô hình hóa theo cách này để đưa ra những con số dự kiến ​​tại thời điểm tiếp theo bằng cách nhân ma trận chuyển tiếp với một vectơ chứa các số tại thời điểm hiện tại. Bằng cách nhân nhiều lần với ma trận chuyển tiếp đó, bạn có thể dự đoán các con số trong thời gian dài hơn, nhưng đối với điều này, bạn cần quyền hạn cao hơn của ma trận chuyển tiếp đó. Nhưng điều đó có thể được thực hiện khá dễ dàng nếu chúng ta lập đường chéo ma trận chuyển tiếp đó; nó làm cho nó có thể dự đoán sự phát triển trong dài hạn.
Bạn có thể tưởng tượng rằng các mô hình tương tự có thể áp dụng trong nhiều ngành khoa học khác: bất cứ nơi nào mà một trạng thái nhất định có thể được đúc trong một vectơ và sự tiến hóa của nó có thể được mô hình hóa bằng phép nhân với một ma trận cố định, đều có thể sử dụng một cách tương tự theo cách tương tự của đường chéo hóa.
Nếu bạn tìm kiếm nó với Google, bạn chắc chắn sẽ tìm thấy một số ứng dụng cụ thể.
Trân trọng
Tom

Trả lời bởi

Tom Dorissen

Đại học miễn phí Brussels
Avenue des Pélain 2 1050 Ixelles
http://www.vub.ac.be/

Recent Articles

spot_img

Related Stories

Stay on op - Ge the daily news in your inbox